Algèbre : résolution de quadratiques par factorisation

Résoudre des quadratiques par affacturage

Algèbre

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Si vous pouvez transformer une équation en un polynôme quadratique factorisable, c'est très simple à résoudre. Même si cette technique ne fonctionnera pas pour toutes les équations quadratiques, quand c'est le cas, c'est de loin le moyen le plus rapide et le plus simple d'obtenir une réponse. Par conséquent, à moins qu'un problème ne vous indique spécifiquement d'utiliser une autre technique pour résoudre une équation quadratique, vous devriez d'abord essayer celle-ci. Si vous obtenez un polynôme premier (non factorisable), vous pouvez toujours passer à l'une des autres techniques que vous apprendrez plus tard dans cette section.



Pour résoudre une équation quadratique par factorisation, procédez comme suit :

Comment as-tu fait ça ?

Si vous avez l'équation ( X - à ) ( X - b ) = 0, l'étape 3 vous dit de changer cela en équations jumelles :

X - à = 0 ou X - b = 0

Vous vous demandez pourquoi c'est autorisé ? C'est grâce à quelque chose qui s'appelle le propriété de produit zéro .

Pensez-y de cette façon : si deux choses sont multipliées ensemble, dans ce cas les quantités ( X - à ) et ( X - b ) et le résultat est 0, alors au moins une de ces deux quantités doit en fait être égale à 0 ! Il n'y a aucun moyen de multiplier deux choses ou plus pour obtenir 0 à moins qu'au moins l'une d'entre elles soit égale à 0.

  1. Mettre l'équation égale à 0 . Se déplacer tous des termes au côté gauche de l'équation en les ajoutant ou en les soustrayant, selon le cas, en ne laissant que 0 du côté droit de l'équation.
  2. Factoriser complètement le polynôme . Utilisez l'une des techniques que vous avez apprises dans Factorisation des polynômes factoriser; n'oubliez pas de toujours prendre en compte le plus grand facteur commun en premier.
  3. Définir chacun des facteurs égal à 0 . En gros, vous créez un tas de petites équations dont les côtés gauches sont les facteurs et dont les côtés droits sont chacun 0. Il est bon de séparer ces petites équations par le mot « ou », car n'importe laquelle d'entre elles pourrait être vraie.
  4. Résous les petites équations et vérifie tes réponses . Chacune des solutions aux petites équations minuscules est également une solution à l'équation d'origine. Cependant, pour vous assurer qu'ils fonctionnent réellement, vous devez les reconnecter à cette équation d'origine pour vérifier que vous obtenez des déclarations vraies.

La partie la plus difficile de cette technique est en fait la factorisation elle-même, et comme ce n'est pas un nouveau concept, cette procédure est très simple et directe.

Exemple 1 : Résoudre les équations et donner toutes les solutions possibles.

  • (à) X 2- 6 X + 9 = 0
  • Solution : Étant donné que cette équation est déjà égale à 0, commencez par factoriser le côté gauche.
  • ( X - 3)( X - 3) = 0
  • Définissez maintenant chaque facteur égal à 0.
  • X - 3 = 0 ou X - 3 = 0
  • X = 3 ou X = 3
  • Eh bien, puisque les deux facteurs étaient les mêmes, les deux solutions se sont retrouvées égales, donc l'équation X 2- 6 X + 9 = 0 n'a qu'une seule solution valide, X = 3. Lorsque vous obtenez une réponse comme celle-ci, qui apparaît deux fois comme une solution possible, elle porte un nom spécial, c'est ce qu'on appelle un racine double .
Point critique

À racine double est une solution répétée pour une équation polynomiale ; c'est le résultat d'un facteur répété dans le polynôme.

Vous avez des problèmes

Problème 1 : Donner toutes les solutions de l'équation 4 X 3= 25 X .

  • Assurez-vous que 3 est une réponse valide en la rebranchant dans l'équation d'origine.
  • X 2- 6 X + 9 = 0
  • 32- 6 (3) + 9 = 0
  • 9 - 18 + 9 = 0
  • 0 = 0
  • Il ne fait aucun doute que 0 = 0 est une déclaration vraie, vous avez donc la bonne réponse.
  • (b) 3 X 2+ 10 X = -4 X + 24
  • Solution : Votre premier travail consiste à définir ce égal à 0; pour ce faire, ajoutez 4 X à et soustraire 24 des deux côtés.
  • 3 X 2+ 14 X -24 = 0
  • Factoriser le trinôme en utilisant la méthode de la bombe discutée dans Factorisation des polynômes . Les deux nombres mystères que vous recherchez sont -4 et 18.
  • 3 X 2+ (-4 + 18) X - 24 = 0 3 X 2-4 X + 18 X - 24 = 0
  • X (3 X - 4) + 6 (3 X - 4) = 0
  • (3 X - 4)( X + 6) = 0
  • Définissez chaque facteur égal à 0 et résolvez.
  • 3 X - 4 = 0 ou X + 6 = 0
  • X =43ou alors X = -6
  • Ces deux réponses fonctionnent lorsque vous les vérifiez.
CIG Algèbre

Extrait de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 par W. Michael Kelley. Tous droits réservés, y compris le droit de reproduction en tout ou en partie sous quelque forme que ce soit. Utilisé en accord avec Livres Alpha , membre de Penguin Group (USA) Inc.

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