Compléter le carré

Compléter le carré

Algèbre

  • Équations quadratiques et inégalités
  • Résoudre des quadratiques par affacturage
  • Compléter le carré
  • La formule quadratique
  • Tous les signes indiquent le discriminant
  • Résoudre les inégalités quadratiques à une variable

La prochaine technique que vous pouvez utiliser pour résoudre des équations quadratiques s'appelle compléter le carré ; il force l'équation, contre son gré, à contenir un carré parfait, qui peut alors être facilement éliminé.



Compléter le carré n'est pas exactement le moyen le plus simple de résoudre des équations quadratiques ; sa force réside dans le fait que le processus est répétitif et prévisible. C'est comme ce gars que tu as connu au lycée dont les parents lui ont fait emmener son cousin (qui ressemble généralement à un carré parfait) au bal de promo. Bien sûr, c'était gênant, et aucun d'eux ne s'est vraiment amusé, mais au moins leurs parents savaient exactement comment la soirée allait se terminer. (Après tout, c'était son cousine , il n'y avait donc aucune perspective d'« activités parascolaires » après la danse.)

Voici la meilleure nouvelle à ce jour : Compléter le carré fonctionnera toujours , contrairement à la méthode de factorisation, qui, bien sûr, nécessite que le trinôme soit factorisable.

Cependant, vous devez apprendre une chose avant que je puisse vous montrer comment compléter le carré : comment éliminer les exposants dans les équations.

Résolution d'équations exponentielles de base

Dans la dernière section, vous avez appris à résoudre des équations radicales. Au cours de ce processus, vous avez découvert que les deux côtés d'une équation étaient m la puissance annule un radical d'indice m . Autrement dit, pour résoudre l'équation

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vous auriez à élever les deux côtés de l'équation à la quatrième puissance, vous laissant avec

  • X - 1 = 81
  • X = 82

Ce processus fonctionne également en sens inverse. En d'autres termes, vous pouvez annuler un exposant de m en prenant le m racine des deux côtés de l'équation. Par exemple, pour résoudre l'équation

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  • 5 X 3= 80

vous devez d'abord isoler la quantité élevée à l'exposant (comme vous l'avez fait dans les équations radicales).

  • X 3= 16

Pour annuler l'exposant de 3, en ne laissant que ce qui était autrefois élevé à la troisième puissance, prenez la troisième racine des deux côtés de l'équation.

  • X = 232
Vous avez des problèmes

Souvenez-vous, dans la dernière section, vous avez appris quem X m lorsque m est un nombre pair. La règle '' discutée ici s'occupe de cela pour vous lorsque vous traitez des équations.

Il n'y a qu'une chose importante à garder à l'esprit lors de l'annulation de cet exposant : si vous annulez un exposant pair, vous devez coller un signe '' sur le côté gauche de l'équation lorsque vous bloquez ces signes radicaux.

Par exemple, considérons l'équation X 2= 16. Vous pouvez résoudre pour X en enracinant les deux côtés de l'équation.

  • X 2= 16
  • X = 4

Se défouler avec des carrés

Maintenant, il est enfin temps de sortir avec votre cousin, euh, complétez le carré. Parce qu'il y a beaucoup d'étapes impliquées, je devrais expliquer comment elles fonctionnent dans le contexte d'un exemple. Juste un bref avertissement avant de commencer : ce problème contiendra une référence scatologique et est donc classé PG par le National Advisory Council on Lowbrow Humour in Mathematics.

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Exemple 2 : Résoudre l'équation 2 X 2- 16 X + 10 = 0.

Solution : Même si vous pouvez factoriser un GCF de 2, l'équation résultante, 2( X 2- 8 X + 5) = 0, ne peut pas être factorisé davantage. Donc, pour le résoudre, vous devez recourir à la complétion du carré.

Étape 1 : Assurez-vous que le coefficient de X 2est 1. Si ce n'est pas le cas, divisez tout dans l'équation par ce coefficient. Dans ce problème, le coefficient de X 2est 2, alors divisez tout par 2.

  • X 2- 8 X + 5 = 0
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Si vous oubliez de faire le coefficient de X 2égal à 1, vous resterez bloqué plus tard, à l'étape 4.

Étape 2: Déplacez tout vers le côté gauche de l'équation sauf la constante . Vous voulez cette constante assise seule du bon côté de l'équation. Dans cet exemple, cela signifie soustraire 5 des deux côtés.

  • X 2- 8 X = -5

Étape 3 : Inspectez les excréments d'insectes . C'est l'étape clé pour compléter le carré : vous allez ajouter un nombre mystère aux deux côtés de l'équation. Pour trouver ce nombre, prenez la moitié du X coefficient (la moitié de -8 est -4) et le carré ((-4)2= 16). Donc, dans ce cas, le nombre mystère à ajouter aux deux côtés de l'équation est 16.

Je ne sais pas quand, pourquoi ou comment je l'ai inventé, mais pendant des années, j'ai utilisé un petit bogue à trois segments (illustré à la figure 13.1.) pour m'aider à me souvenir de cette étape. À ce jour, je dessine toujours son corps (moins les jambes, les yeux et d'autres détails chronophages) dans les marges d'un problème de carré.

Crottes d'insectes

Figure 13.1 N'allumez pas de lumière vive pendant que vous travaillez avec l'insecte, car il pourrait se précipiter sous le réfrigérateur.

Voici comment fonctionne mon petit ami mnémotechnique invertébré : L'insecte mange le X coefficient (placez le X coefficient, y compris son signe, dans le segment supérieur); cependant, ce n'est qu'un insecte avec un petit appétit, il ne peut donc manger que la moitié de ce nombre (mettre la moitié du nombre situé dans le premier segment, y compris son signe, dans le deuxième segment). Enfin, une fois ce numéro mangé, il doit, hum, excréter des déchets pour terminer le processus de digestion, et ce bug ne laisse que carré excréments (le carré du segment du milieu est écrit à l'arrière de l'insecte).

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Cette procédure s'appelle compléter le carré car, en ajoutant 16 des deux côtés dans l'exemple 2, vous créez un trinôme qui est un carré parfait. Par conséquent, il peut être écrit comme ( X + à )2, où à est le nombre de la section médiane du bogue.

Que vous choisissiez d'utiliser le bogue pour générer le nombre mystère ou non, vous devez l'ajouter (il sera toujours positif puisqu'il est le résultat d'un carré) des deux côtés de l'équation.

  • X 2- 8 X + 16 = -5 + 16
  • X 2- 8 X + 16 = 11

Étape 4 : Réécrivez le côté gauche de l'équation sous la forme d'un carré binomial parfait . Une fois factorisé, le quadratique du côté gauche ressemblera à ceci : ( X + à )2. Voici la partie cool : le à dans ( X + à )2vient tout droit de l'estomac de la punaise ! Puisque le bogue a -4 dans son estomac pour ce problème, la forme factorisée devrait ressembler à

  • ( X - 4)2= 11

Étape 5 : Éliminer l'exposant . Pour contrer le carré, prenez la racine carrée des deux côtés ; n'oubliez pas de coller un signe '' sur le côté droit et de simplifier ce radical (si possible) lorsque vous le faites.

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  • X - 4 = 11
Vous avez des problèmes

Problème 2 : Résoudre l'équation en complétant le carré.

2 + 6 X - 3 = 0

Étape 6 : Résolvez pour X . Dans ce problème, ajoutez 4 des deux côtés.

  • X = 4 11

Ainsi, l'équation quadratique 2 X 2- 16 X + 10 = 0 a deux solutions : X = 4 + 11 et X = 4 - 11 ; le signe '' signifie que l'un ou l'autre signe fonctionnera pour l'expression.

CIG Algèbre

Extrait de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 par W. Michael Kelley. Tous droits réservés, y compris le droit de reproduction en tout ou en partie sous quelque forme que ce soit. Utilisé en accord avec Livres Alpha , membre de Penguin Group (USA) Inc.

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