Géométrie : Isométries

Isométries

Géométrie

  • Transformations
  • Isométries
  • Dilatations
  • Symétrie

Le mot isométrie est utilisé pour décrire le processus de déplacement d'un objet géométrique d'un endroit à un autre sans changer sa taille ou sa forme. Imaginez deux fourmis assises sur un triangle pendant que vous le déplacez d'un endroit à un autre. L'emplacement des fourmis changera par rapport au plan (car elles sont sur le triangle et le triangle s'est déplacé). Mais l'emplacement des fourmis les unes par rapport aux autres n'a pas. Chaque fois que vous transformez une figure géométrique de sorte que la distance relative entre deux points n'a pas changé, cette transformation est appelée une isométrie. Il existe de nombreuses façons de déplacer des figures bidimensionnelles autour d'un plan, mais il n'y a que quatre types d'isométries possibles : translation, réflexion, rotation et réflexion par glissement. Ces transformations sont également connues sous le nom de mouvement rigide. Les quatre types de mouvements rigides (translation, réflexion, rotation et réflexion glissante) sont appelés les mouvements rigides de base dans le plan. Ceux-ci seront discutés plus en détail au fur et à mesure que la section progresse.



Ligne tangente

Pour les objets tridimensionnels dans l'espace, il n'y a que six types possibles de mouvement rigide : translation, réflexion, rotation, réflexion glissante, réflexion rotative et déplacement de vis. Ces isométries sont appelées les mouvements rigides de base dans l'espace.

Faits solides

Une isométrie est une transformation qui préserve la distance relative entre les points.

Sous une isométrie, le image d'un point est sa position finale.

À un point fixe d'une isométrie est un point qui est sa propre image sous l'isométrie.

Une isométrie dans le plan déplace chaque point de sa position de départ P à une position de fin P, appelée la image de P. Il est possible qu'un point se retrouve là où il a commencé. Dans ce cas P = P et P est appelé un un point fixe de l'isométrie. Dans l'étude des isométries, les seules choses qui sont importantes sont les positions de départ et de fin. Peu importe ce qui se passe entre les deux.

Prenons l'exemple suivant : supposons que vous ayez un quart assis sur votre commode. Le matin, vous le ramassez et le mettez dans votre poche. Vous allez à l'école, traînez au centre commercial, retournez-le pour voir qui obtient le ballon en premier dans un match de football tactile, rentrez chez vous épuisé et remettez-le sur votre commode. Bien que votre quart ait vécu l'aventure d'une vie, le résultat net n'est pas très impressionnant ; il a commencé sa journée sur la commode et a terminé sa journée sur la commode. Oh, bien sûr, cela aurait pu se retrouver à un endroit différent sur la commode, et cela pourrait être la tête haute au lieu de la queue haute, mais à part ces différences mineures, ce n'est pas beaucoup mieux qu'au début de la journée. Du point de vue du trimestre, il existait un moyen plus simple de se retrouver là où il l'a fait. Le même effet aurait pu être obtenu en déplaçant le quartier vers sa nouvelle position dès le matin. Ensuite, il aurait pu avoir toute la journée pour s'asseoir sur la commode et contempler la vie, l'univers et tout.

Si deux isométries ont le même effet net, elles sont considérées comme des isométries équivalentes. Avec les isométries, le ? se termine ? sont tout ce qui compte, les « moyens » ? ne veut rien dire.

Une isométrie ne peut pas trop changer une figure géométrique. Une isométrie ne changera pas la taille ou la forme d'une figure. Je peux formuler cela dans un langage mathématique plus précis. L'image d'un objet sous une isométrie est un objet congruent. Une isométrie n'affectera pas la colinéarité des points, ni n'affectera la position relative des points. En d'autres termes, si trois points sont colinéaires avant l'application d'une isométrie, ils le seront également par la suite. Il en va de même pour l'entre-deux. Si un point est entre deux autres points avant qu'une isométrie ne soit appliquée, il restera entre les deux autres points par la suite. Si une propriété ne change pas au cours d'une transformation, cette propriété est dite invariant . La colinéarité et l'inter-ness sont invariantes sous une isométrie. La mesure de l'angle est également invariante sous une isométrie.

Si vous avez deux triangles congrus situés dans le même plan, il s'avère qu'il existe une isométrie (ou séquence d'isométries) qui transforme un triangle en un autre. Ainsi, tous les triangles congruents proviennent d'un triangle et des isométries qui le déplacent dans le plan.

Vous pourriez être tenté de penser que pour comprendre les effets d'une isométrie sur une figure, vous auriez besoin de savoir où chaque point de la figure est déplacé. Ce serait trop compliqué. Il s'avère qu'il suffit de savoir où vont quelques points pour savoir où vont tous les points. Combien de points est ? quelques ? dépend du type de mouvement. Avec les traductions, par exemple, vous n'avez besoin de connaître que les positions initiale et finale d'un point. C'est parce que là où va un point, le reste suit, pour ainsi dire. Avec les isométries, la distance entre les points doit rester la même, ils sont donc tous collés les uns aux autres.

Faits solides

Une propriété est invariant s'il reste inchangé par une transformation.

Étant donné que vous vous concentrerez sur les emplacements de début et de fin des points, il est préférable de formuler cette discussion dans le système de coordonnées cartésiennes. C'est parce que le système de coordonnées cartésiennes facilite le suivi de l'emplacement des points dans le plan.

Traductions

Lorsque vous translatez un objet dans le plan, vous le faites glisser. UNE Traduction dans le plan est une isométrie qui déplace chaque point du plan d'une distance fixe dans une direction fixe. Vous ne le retournez pas, ne le tournez pas, ne le tordez pas ou ne le bousculez pas. En fait, avec les traductions, si vous savez où va un point, vous savez où ils vont tous.

Faits solides

À Traduction dans le plan est une isométrie qui déplace chaque point du plan d'une distance fixe dans une direction fixe.

La traduction la plus simple est le ? ne rien faire ? Traduction. C'est ce que l'on appelle souvent la transformation de l'identité et est noté I. Votre silhouette se termine là où elle a commencé. Tous les points finissent là où ils ont commencé, donc tous les points sont des points fixes. La traduction d'identité est la seule traduction à points fixes. Avec chaque autre traduction, si vous déplacez un point, vous les avez tous déplacés. La figure 25.1 montre la translation d'un triangle.

Figure 25.1 La translation d'un triangle.

Les traductions préservent l'orientation : la gauche reste à gauche, la droite reste à droite, le haut reste en haut et le bas reste en bas. Les isométries qui préservent les orientations sont appelées isométries propres.

Réflexions

Faits solides

À réflexion dans le plan déplace un objet dans une nouvelle position qui est une image miroir de la position d'origine.

À réflexion dans le plan déplace un objet dans une nouvelle position qui est une image miroir de la position d'origine. Le miroir est une ligne, appelée axe de réflexion. Si vous connaissez l'axe de réflexion, vous savez tout sur l'isométrie.

Les réflexions sont délicates car le cadre de référence change. La gauche peut devenir la droite et le haut peut devenir le bas, selon l'axe de réflexion. L'orientation change dans une réflexion :

Le sens des aiguilles d'une montre devient le sens inverse des aiguilles d'une montre, et vice versa. Parce que les réflexions changent l'orientation, elles sont appelées isométries incorrectes. Il est facile d'être désorienté par un reflet, comme peut en témoigner quiconque a erré dans une maison des miroirs. La figure 25.2 montre la réflexion d'un triangle.

Figure 25.2Le reflet d'un triangle rectangle.

Il n'y a pas de réflexion identitaire. En d'autres termes, il n'y a pas de réflexion qui laisse chaque point du plan inchangé. Notez que dans une réflexion tous les points sur l'axe de réflexion ne bougent pas. C'est là que sont les points fixes. Il existe plusieurs options concernant le nombre de points fixes. Il ne peut y avoir de points fixes, quelques points fixes (n'importe quel nombre fini) ou une infinité de points fixes. Tout dépend de l'objet réfléchi et de l'emplacement de l'axe de réflexion. La figure 25.3 montre le reflet de plusieurs figures géométriques. Dans la première figure, il n'y a pas de points fixes. Dans la deuxième figure il y a deux points fixes, et dans la troisième figure il y a une infinité de points fixes.

Figure 25.3Un objet réfléchi n'ayant pas de points fixes, deux points fixes et une infinité de points fixes.

Nœud emmêlé

Dans la figure 25.3, vous devez être prudent dans le deuxième dessin. En raison de la symétrie du triangle et de l'emplacement de l'axe de réflexion, il peut sembler que tous les points sont des points fixes. Mais seuls les points d'intersection du triangle et de l'axe de réflexion sont fixes. Même si la figure globale ne change pas à la réflexion, les points qui ne sont pas sur l'axe de réflexion changent de position.

Une réflexion peut être décrite par la façon dont elle modifie un point P qui n'est pas sur l'axe de réflexion. Si vous avez un point P et l'axe de réflexion, construisez une droite l perpendiculaire à l'axe de réflexion qui passe par P. Appelez le point d'intersection des deux droites perpendiculaires M. Construisez un cercle de centre M qui passe par P. Ce cercle croisera l à un autre point à côté de P, disons P. Ce nouveau point est l'endroit où P est déplacé par la réflexion. Notez que cette réflexion déplacera également P vers P.

C'est juste la moitié de ce que vous pouvez faire. Si vous avez un point P et que vous connaissez le point P vers lequel la réflexion se déplace P, alors vous pouvez trouver l'axe de réflexion. La discussion de construction précédente le révèle. L'axe de réflexion n'est que la médiatrice du segment de droite PP ! Et vous savez tout sur la construction de bissectrices perpendiculaires.

Que se passe-t-il lorsque vous réfléchissez deux fois un objet sur le même axe de réflexion ? Les constructions évoquées ci-dessus devraient apporter un éclairage sur cette question. Si P et P changent de place, puis changent de place à nouveau, tout revient à la case départ. Pour un œil non averti, rien n'a changé. C'est la transformation identitaire I qui a été évoquée avec les traductions. Ainsi, même s'il n'y a pas d'identité de réflexion en soi, si vous réfléchissez deux fois sur le même axe de réflexion, vous avez généré la transformation d'identité.

Ligne tangente

Le mouvement implique généralement un changement. Si quelque chose est immobile, est-ce qu'il bouge ? La transformation identitaire doit-elle être considérée comme un mouvement rigide ? Si vous partez en vacances puis rentrez chez vous, avez-vous réellement déménagé ? L'accent doit-il être mis sur le processus ou le résultat ? En utilisant le terme ?isométrie? plutôt que « mouvement rigide » ? déplace efficacement l'accent loin des connotations associées au ? mouvement ? aspect d'un mouvement rigide.

Rotations

À rotation implique une isométrie qui maintient un point fixe et déplace tous les autres points d'un certain angle par rapport au point fixe. Pour décrire une rotation, il faut connaître le point de pivot, appelé centre de la rotation. Vous devez également connaître la quantité de rotation. Ceci est spécifié par un angle et une direction. Par exemple, vous pouvez faire pivoter une figure autour d'un point P d'un angle de 90, mais vous devez savoir si la rotation est dans le sens horaire ou antihoraire. La figure 25.4 montre quelques exemples de rotations autour de certains points.

Faits solides

À rotation est une isométrie qui déplace chaque point d'un angle fixe par rapport à un point central.

Figure 25.4Exemples de rotations de figures.

Outre la rotation identitaire, les rotations ont un point fixe : le centre de rotation. Si vous retournez un point, vous ne le changez pas, car il n'a pas de taille à proprement parler. De plus, une rotation préserve l'orientation. Tout tourne du même angle, dans le même sens, donc la gauche reste à gauche et la droite reste à droite. Les rotations sont des isométries correctes. Parce que les rotations sont des isométries correctes et que les réflexions sont des isométries incorrectes, une rotation ne peut jamais être équivalente à une réflexion.

Afin de décrire une rotation, vous devez spécifier plus d'informations que l'origine et la destination d'un point. Une infinité de rotations, chacune avec un centre de rotation distinct, amènera un point spécifique P à son emplacement final P. Toutes ces différentes rotations ont quelque chose en commun. Les centres de rotation sont tous sur la médiatrice du segment de droite PP. Afin de définir la description d'une rotation, vous devez savoir comment deux points changent, mais pas n'importe quels deux points. Les médiatrices des segments de droite reliant les positions initiale et finale des points doivent être distinctes. Supposons que vous sachiez que P se déplace vers P et Q vers Q , avec la médiatrice de PP distincte de la médiatrice de QQ. Ensuite, la rotation est spécifiée complètement. La figure 25.5 vous aidera à visualiser ce que j'essaie de décrire.

Eurêka !

La rotation par 360 laisse tout inchangé ; vous avez fait « tour complet ». Vous avez vu trois manières différentes de laisser les choses tranquilles efficacement : le ? ne rien faire ? translation, réflexion deux fois autour du même axe de réflexion et rotation de 360. Chacune de ces isométries est équivalente, car le résultat net est le même.

Le centre de rotation doit se trouver sur les bissectrices perpendiculaires de PP et QQ , et vous savez que deux droites distinctes non parallèles se coupent en un point. Le point d'intersection des médiatrices sera le centre de rotation, C. Pour trouver l'angle de rotation, il suffit de trouver m?PCP.

Figure 25.5A rotation avec centre de rotation point C et angle de rotation m?PCP.

Reflets de glisse

À réflexion de plané consiste en une traduction suivie d'une réflexion. L'axe de réflexion doit être parallèle à la direction de la translation. La figure 25.6 montre une figure transformée par une réflexion glissante. Notez que la direction de translation et l'axe de réflexion sont parallèles.

Faits solides

À réflexion de plané est une isométrie qui consiste en une translation suivie d'une réflexion.

Notez que l'orientation a changé. Si vous listez les sommets du triangle dans le sens horaire, l'ordre est A, B et C. Si vous listez les sommets du triangle résultant dans le sens horaire, l'ordre est A , C et B. Comme l'orientation a changé, les réflexions de glissement sont isométries incorrectes.

Afin de comprendre les effets d'une réflexion de plané, vous avez besoin de plus d'informations que l'endroit où un seul point se termine. Tout comme vous l'avez vu avec la rotation, vous devez savoir où se terminent deux points. Parce que la translation et l'axe de réflexion sont parallèles, il est facile de déterminer l'axe de réflexion quand on sait comment se déplacent deux points. Si P est déplacé vers P et Q est déplacé vers Q, l'axe de réflexion est le segment de droite qui relie les milieux des segments PP et QQ. Lorsque l'axe de réflexion est connu, vous devez refléter le point P à travers l'axe de réflexion. Cela vous donnera un point intermédiaire P*. La partie translation de la réflexion glissante (en d'autres termes, la partie glisse) est la translation qui a déplacé P vers P*. Vous connaissez maintenant la translation et l'axe de réflexion, vous savez donc tout sur l'isométrie.

Parce qu'une réflexion glissante est une traduction et une réflexion, elle n'aura pas de points fixes (en supposant que la traduction ne soit pas l'identité !). C'est parce que les traductions non triviales n'ont pas de points fixes.

La figure 25.6 ? ABC subit une réflexion glissante.

Extrait de The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 par Denise Szecsei, Ph.D.. Tous droits réservés, y compris le droit de reproduction en tout ou en partie sous quelque forme que ce soit. Utilisé en accord avec Livres Alpha , membre de Penguin Group (USA) Inc.

Pour commander ce livre directement auprès de l'éditeur, visitez le site Web de Penguin USA ou appelez le 1-800-253-6476. Vous pouvez également acheter ce livre sur Amazon.com et Barnes & Noble .

actualités cette semaine 2021