Géométrie : Preuves impliquant des lignes perpendiculaires

Preuves impliquant des lignes perpendiculaires

Géométrie

  • Prouver les relations entre les lignes
  • Preuves impliquant des lignes perpendiculaires
  • Mettons-nous en parallèle
  • Preuves sur les angles alternatifs
  • Lignes parallèles et angles supplémentaires
  • Utiliser le parallélisme pour prouver la perpendiculaire
  • Prouver que les lignes sont parallèles

Je vais commencer par passer en revue ce que vous avez appris sur les lignes. Chaque fois que vous avez deux droites, une seule de ces trois choses peut arriver : soit ce sont la même droite, ce sont des droites parallèles, soit les deux droites se coupent en un point. Si les deux droites se coupent en un point, les angles verticaux formés sont congrus. Les lignes sécantes forment soit une paire d'angles aigus et une paire d'angles obtus, soit les lignes sécantes forment quatre angles droits. Lorsque les lignes se rencontrent pour former quatre angles droits, les lignes sont perpendiculaires.



Le fait principal à établir à propos des lignes perpendiculaires a à voir avec l'unicité. N'oubliez pas que le milieu d'un segment de droite et la bissectrice d'un angle sont uniques. Vous avez appris que si on vous donne un point et une ligne, il y a une ligne unique passant par ce point qui est perpendiculaire à la ligne. Vous avez maintenant les compétences nécessaires pour établir la propriété d'unicité des lignes perpendiculaires.

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  • Théorème 10.1 : Étant donné un point A sur une droite l, il existe une unique droite m perpendiculaire à l qui passe par A.
  • Exemple 1 : Écrivez une preuve formelle pour le théorème 10.1.
  • Solution : Commencez avec un plan de match pour savoir comment aborder le problème. La figure 10.1 montre une ligne l et un point A sur l. Vous voulez montrer qu'il existe une unique droite m perpendiculaire à l qui passe par A. La façon dont vous avez prouvé l'unicité dans les exemples précédents était de supposer qu'il y en avait deux et d'obtenir une contradiction. C'est la même approche à adopter ici.

Figure 10.1A ligne l et un point A sur l.

Le dessin que vous utiliserez pour votre démonstration nécessite deux droites distinctes, m et n, qui toutes deux passent par A et sont perpendiculaires à l. La figure 10.2 illustre cette situation. La contradiction que vous obtiendrez implique le postulat du rapporteur. Rappelez-vous que lorsque deux droites sont perpendiculaires, elles se rejoignent pour former des angles droits. Les lignes m et l forment ?3. Les lignes n et l forment ?2. Étant donné que m et n sont des droites distinctes qui se rencontrent en A, lorsqu'elles se coupent, elles forment ?1. Ensemble ?1, ?2 et ?3 forment l'angle droit ?BAC, donc la somme de leurs mesures doit être de 180. Mais si m?2 = 90 et m?3 = 90, vous avez pris en compte tous les 180. Il ne reste plus de degrés pour former ?1. C'est là que réside le problème : m?1 = 0 , ce qui contredit le postulat du rapporteur. Maintenant que vous avez un plan de match, vous pouvez rédiger la preuve formelle. À ce stade, vous devriez être à l'aise avec le format d'une preuve formelle, je vais donc passer en revue les étapes.

Figure 10.2Deux droites distinctes, m et n, qui toutes deux passent par A et sont perpendiculaires à l.

  • Théorème 10.1 : Étant donné un point A sur une droite l, il existe une unique droite m perpendiculaire à l qui passe par A.
  • Le dessin est illustré à la figure 10.2.
  • Étant donnés une droite l et un point A sur l, supposons qu'il y ait deux droites, m et n, qui toutes deux passent par A et sont perpendiculaires à l.
  • Montrer que m?1 = 0
  • Preuve : En ce qui concerne un plan de match, j'ai déjà esquissé la plupart des preuves. Vous utiliserez la définition d'un angle droit, le postulat d'addition d'angle et le postulat du rapporteur.
DéclarationsLes raisons
1.Les points A, B et C se trouvent sur une ligne l, et m et n sont des lignes distinctes qui passent toutes les deux par A et sont perpendiculaires à lDonné
2.?BAC est un angle droit, et m?BAC = 180Définition de l'angle droit
3.m?1 + m?2 + m?3 = m?BACPostulat d'addition d'angle
Quatre.m?1 + m?2 + m?3 = 180Substitution (étapes 2 et 3)
5.?2 est un angle droitDéfinition de perpendiculaire ( n ? 1 )
6.?3 est un angle droitDéfinition de perpendiculaire ( m ? 1 )
7.m?2 = 90 , m?3 = 90Définition de l'angle droit
8.m?1 + 90 + 90 = 180Substitution (étapes 4 et 7)
9.m?1 = 0Algèbre

Vous avez établi votre contradiction, et donc l'hypothèse qu'il y avait deux droites distinctes perpendiculaires à l passant par A était fausse. L'unicité est établie.

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Extrait de The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 par Denise Szecsei, Ph.D.. Tous droits réservés, y compris le droit de reproduction en tout ou en partie sous quelque forme que ce soit. Utilisé en accord avec Livres Alpha , membre de Penguin Group (USA) Inc.

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