Géométrie : quand un quadrilatère est-il un parallélogramme ?

Quand un quadrilatère est-il un parallélogramme ?

Géométrie

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Je pense à un quadrilatère avec une paire de côtés opposés parallèles et congrus. Nommez ce quadrilatère.



Je pense à un quadrilatère avec les deux paires de côtés opposés congrus. Nommez ce quadrilatère.

Je pense à un quadrilatère avec les deux paires d'angles opposés congrus. Nommez ce quadrilatère.

Je pense à un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Nommez ce quadrilatère.

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Si vous avez répondu ?parallélogramme ? à tout ce qui précède, vous avez raison ! Bien sûr, vous savez maintenant qu'il ne suffit pas de prétendre que je pense à un parallélogramme. Il y a des sceptiques dans la voiture, vous devrez donc le prouver.

Côtés opposés congruents et parallèles

Votre premier ?Nom de ce quadrilatère ? l'indice impliquait une paire de côtés opposés parallèles et congruents. Je vais l'appeler un théorème et écrire une preuve en deux colonnes. La figure 16.1 vous aidera à visualiser la situation.

Figure 16.1 Quadrilatère ABCD avec BC ? ? et BC ~= AD.

  • Théorème 16.1 : Si une paire de côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et congrus, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Voici le plan de match. Supposons que BC ? ? AD et BC ~= AD. Par définition, un parallélogramme est un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Vous savez déjà qu'une paire de côtés opposés est parallèle. Vous devez montrer que l'autre paire de côtés opposés est parallèle. En d'autres termes, vous devez montrer que AB ? ? CD.

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Vous pouvez regarder ce quadrilatère de deux manières. La première consiste à se concentrer sur les segments BC et AD coupés par un AC transversal. Alors ?BCA et ?DAC sont des angles intérieurs alternés et sont congrus parce que BC ? ? UN D. La deuxième façon est de le tourner sur le côté. AB et CD sont deux segments coupés par un AC transversal. Dans ce cas, BBAC et ?ACD sont des angles intérieurs alternés. Si vous pouviez montrer que ?BAC ~= ?ACD, alors vous pourriez conclure que AB ? ? CD, et vous auriez fini. La façon de montrer ?BAC ~= ?ACD est d'utiliser CPOCTAC. Pour utiliser CPOCTAC, vous devez afficher ?DAC ~= ?BCA. Pour afficher ?DAC ~= ?BCA, vous devez utiliser le postulat SAS. Écrivons-le.

DéclarationsLes raisons
1.Quadrilatère ABCD avec BC ? ? AD et BC ~= AD.Donné
2.AVANT JC ? ? AD coupé par un AC transversalDéfinition de transversal
3.?BAC et ?ACD sont des angles intérieurs alternatifsDéfinition des angles intérieurs alternatifs
Quatre.? BCA ~ =? DACThéorème 10.2
5.CA ~ = CAPropriété réflexive de ~=
6.? DAC ~ =? BCAPostulat SAS
7.?BAC ~= ?ACDCPOCTAC
8.AB et CD sont deux segments coupés par un AC transversalDéfinition de transversal
9.?BAC et ?ACD sont des angles intérieurs alternatifsDéfinition des angles intérieurs alternatifs
dix.A B C DThéorème 10.8
Onze.Le quadrilatère ABCD est un parallélogrammeDéfinition de parallélogramme

Maintenant que vous avez correctement nommé ce quadrilatère, vous pouvez passer au quadrilatère suivant.

Deux paires de côtés congruents

Dans le second ? Nommer ce quadrilatère ? jeu, le quadrilatère avait deux paires de côtés congrus. Écrivons cela comme un théorème et mettons-le au repos.

  • Théorème 16.2 : Si les deux paires de côtés opposés d'un quadrilatère sont congrus, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Nous avons un visuel sur la figure 16.2. On a un parallélogramme ABCD avec AB ~= CD et BC ~= AD. Le plan de jeu consiste à diviser le quadrilatère en deux triangles en utilisant la diagonale AC. Utilisez le postulat SSS pour montrer que les deux triangles sont congrus et utilisez CPOCTAC pour conclure que les angles intérieurs alternatifs sont congrus et que les côtés opposés doivent être parallèles. Si nous montrons cela pour les deux paires de côtés opposés, alors nous avons un parallélogramme par définition. Il est temps d'écrire les détails.

Figure 16.2 Quadrilatère ABCD avec AB ~= CD et BC ~= AD

DéclarationsLes raisons
1.Quadrilatère ABCD avec AB ~= CD et BC ~= ADDonné
2.CA ~ = CAPropriété réflexive de ~=
3.?ABC ~= ?CDAPostulat SSS
Quatre.?BAC ~= ?ACD et ?BCA ~= ?DACCPOCTAC
5.BC et AD sont deux segments coupés par une transversale ACDéfinition de transversal
6.?BAC et ?ACD sont des angles intérieurs alternatifsDéfinition des angles intérieurs alternatifs
7.AVANT JC? ? ÀThéorème 10.8
8.AB et CD sont deux segments coupés par un AC transversalDéfinition de transversal
9.?BAC et ?ACD sont des angles intérieurs alternatifsDéfinition des angles intérieurs alternatifs
dix.A B C DThéorème 10.8
Onze.Le quadrilatère ABCD est un parallélogrammeDéfinition de parallélogramme

Encore une fois, le doux goût de la victoire ! Vous avez nommé ce quadrilatère correctement. Prochain!

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Deux paires d'angles congruents

La troisième description du quadrilatère impliquait que les deux paires d'angles opposés soient congrus. Je vais énoncer le théorème et utiliser la figure 16.3 pour vous guider dans votre preuve.

Figure 16.3 Quadrilatère ABCD avec ?A ~= ?C et ?B ~= ?D.

  • Théorème 16.3 : Si les deux paires d'angles opposés d'un quadrilatère sont congruentes, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Vous devez commencer par vos angles. Parce que les mesures des sommes des angles intérieurs d'un quadrilatère totalisent 360, vous pouvez montrer m?A + m?B = 180 , ou que ?A et ?B sont des angles supplémentaires. Maintenant, vous pouvez regarder ce quadrilatère sous la lumière suivante : BC et AD sont deux segments coupés par une transversale AB. Habituellement, la transversale a été AC, mais cette fois, vous utiliserez AB. Parce que vos deux angles du même côté de la transversale sont supplémentaires, le théorème 10.10 vous dit que BC ? ? UN D. Un argument similaire montre que AB ? ? CD.

DéclarationsLes raisons
1.Quadrilatère ABCD avec ?A ~= ?C et ?B ~= ?DDonné
2. m?A + m?B + m?C + m?D = 360 Les mesures des angles intérieurs d'un quadrilatère totalisent 360
3. m?A + m?B + m?A + m?B = 360 Substitution (étapes 1 et 2)
Quatre. m?A + m?B = 180 Algèbre
5. ?A et ?B sont des angles supplémentairesDéfinition des angles supplémentaires
6. BC et AD sont deux segments coupés par une transversale ABDéfinition de transversal
7. AVANT JC? ? À Théorème 10.10
8. AB et CD sont deux segments coupés par une transversale ADDéfinition de transversal
9. m?A + m?D = 180 Substitution (étapes 1 et 4)
dix. ?A et ?D sont des angles supplémentairesDéfinition des angles supplémentaires
Onze. A B C D Théorème 10.10
12. Le quadrilatère ABCD est un parallélogrammeDéfinition de parallélogramme

Diagonales bissectrices

Ah, le jeu de nom de famille de cette série ! Si vous avez un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, votre quadrilatère est un parallélogramme. La figure 16.4 montre un parallélogramme ABCD avec des diagonales AC et BD qui se coupent en M et se coupent en leur milieu.

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Figure 16.4 Quadrilatère ABCD avec les diagonales AC et BD qui se coupent en M et se coupent en leur milieu.

  • Théorème 16.4 : Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Si vous regardez la figure 16.4, le plan de jeu pour prouver ce théorème devrait être clair et net. Vous utiliserez le théorème 16.2 : Les paires de côtés opposés d'un parallélogramme sont congruentes. Les deux diagonales divisent le parallélogramme en quatre triangles. Parce que les diagonales se coupent en leur milieu, AM ~= MC et BM ~= MD. Comme les angles verticaux sont congrus, vous pouvez utiliser le postulat SAS pour montrer que ?AMB ~= ?BMC et ?AMB ~= ?DMC. A partir de là, il s'agit d'appliquer CPOCTAC pour montrer que les deux paires de côtés opposés sont congruentes.

DéclarationsLes raisons
1. Quadrilatère ABCD avec les diagonales AC et BD qui se coupent en M et se coupent en leur milieu Donné
2. AM ~= MC et BM ~= MD Définition de bissection
3. ?AMB ~= ?CMD et ?AMD ~= ?BMC Théorème 8.1
Quatre. ?AMD ~= ?BMC et ?AMB ~= ?DMC Postulat SAS
5. BC ~= AD et AB ~= CD CPOCTAC
6. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme Théorème 16.2

Extrait de The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 par Denise Szecsei, Ph.D.. Tous droits réservés, y compris le droit de reproduction en tout ou en partie sous quelque forme que ce soit. Utilisé en accord avec Livres Alpha , membre de Penguin Group (USA) Inc.

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